齒輪齒根應力和輪齒變形的計算是齒輪設計和研究的基本問題。過去由于計算機的限制，許多研究和分析人員計算齒根應力和輪齒變形時所用的模型為二維或三維等效輪齒模型，計算模型存在誤差，計算模型和結果的可靠性低，因此計算結果很難比較，特別是與試驗結果不好比較，造成很多重復試驗。所以有必要建立一個三維整輪齒根應力和輪齒變形計算的標準，給齒輪設計和研究人員和CAE研究人員參考。使用高性能計算，現在能夠對齒輪三維整輪模型進行仿真分析，精確計算齒輪齒根應力和輪齒變形。本文對一個采煤機齒輪進行了計算，計算是在曙光4000A超級計算機上進行。

　　齒輪齒根應力和輪齒變形的計算

　　表1為計算齒輪和加工刀具的參數，刀具為凸頭滾刀，齒頂高系數為1，齒輪配合的軸直徑(齒輪內圓直徑)為90毫米。

表 1 計算齒根應力齒輪參數

　　1 齒輪三維計算模型

　　載荷均勻或線性分布作用在齒頂，作用載荷大小設定為F = 100N/mm，不同工況總載荷大小一樣，齒輪內圓固定約束。齒輪彈性模量E = 2.06e5 N/mm2，泊松比ν=0.3。

　　1.1 網格模型

　　圖1是計算齒輪實體幾何模型，由于齒輪齒根有應力集中，應該選擇三維二次等參單元，ANSYS軟件中使用單元SOLID95表示，齒輪整輪網格如圖2所示。整輪網格劃分分三部分，載荷作用輪齒扇、相鄰輪齒扇(左、右)和其余輪齒扇，每部分分輪齒和輪緣(輪幅)兩部分。載荷作用輪齒扇的輪齒部分(圖3)由于齒根網格密度高，因此其它部分網格密度高也相應提高，輪緣部分周向網格密度最高(相對其它輪緣部分)。由于應力主要集中在載荷作用輪齒扇局部范圍內，因此與它間隔輪齒扇可以使用較稀疏的網格，相鄰輪齒扇的網格是載荷作用輪齒扇和間隔輪齒扇之間的過渡網格。其余輪齒扇中的各扇網格一樣，可以復制。所有輪緣部分徑向網格密度一樣，整輪網格齒向密度一樣。載荷分布作用在齒頂的節點上，載荷作用輪齒的網格和均勻分布載荷如圖3所示。單元網格三邊長度比例有一定要求。

圖1 齒輪實體三維幾何模型

 圖2 齒輪三維整輪網格模型

圖3 齒輪輪齒三維網格模型

　　1.2 計算時間和并行性能

　　齒輪計算模型有518940單元，2196347節點，共6589041自由度。計算工況為5個。計算時間在表2中，求解方法使用ANSYS的預條件迭代求解器。不同CPU數求解時間如圖4所示，2個CPU的加速比為2.17，4個CPU的加速比為3.22。ANSYS軟件共享內存并行求解效率很高，不比分布式并行求解差，4個CPU的加速比可達3以上。

表2 多工況三維整輪齒根應力有限元模型在曙光4000A上的計算時間

圖4 計算求解時間(CPU和墻鐘WALL時間)

　　2 齒輪齒根應力

　　不同工況和偏載方式的最大齒根應力計算結果在表3中，σf是受拉側最大齒根拉應力(即最大主應力σ1)，σC是受壓側最大齒根壓應力(即最小主應力σ3值)，表4是作用在齒頂的5種載荷工況。圖5是均勻分布載荷受拉側齒根應力齒向分布，σI =σ1 - σ3= 2tmax，為應力強度等于2倍最大切應力tmax，σE 為等效應力。對于平面應力或平面應變，理論上σ1=σI ，實際上由于計算誤差不是絕對相等[2]。對于平面應力，理論上等效應力σE =σ1，而平面應變，理論上等效應力： 。根據圖5計算結果所知，齒輪在中部大部分(60%)都工作在平面應變狀態，而在最端部工作在平面應力狀態。最大應力是在應變狀態向平面應力過渡處，離端部距離大約是齒長的五分之一(23%)處，端部應力最小，只有最大應力的65%，中部應力比最大應力略小(小1.73%)。工況2，三倍載荷均勻分布作用在齒輪齒面中間三分之一處，但齒根應力僅增加2.1倍。工況3，三倍載荷均勻分布作用在齒輪齒面一端三分之一處，齒根應力增加了2.65倍。工況4，一端二倍載荷線性分布作用在齒輪齒面上，齒根應力僅增加1.63倍。工況5，一端三倍載荷線性分布作用在齒輪齒面上，齒根應力增加2.23倍。

圖5 均勻分布載荷齒根應力齒向分布

　　σ1為最大主應力，σI =σ1-σ3 σE 為等效應力

表3 不同載荷工況的齒根應力及偏載系數

表4 5種載荷工況

　　3 齒輪輪齒變形

　　齒輪變形包括輪齒接觸變形、撓曲變形和本體變形。輪齒變形文獻[3]已經研究，但是僅僅是二維等效模型。本文研究計算了輪齒撓曲變形和本體變形三維模型的影響，同時也計算了不同載荷工況和偏載荷下的齒輪輪齒撓曲變形和本體變形。圖6是工況1均勻分布載荷下的齒輪變形，u1是載荷作用輪齒對稱點載荷作用線方向的變形，u 2是與載荷作用輪齒載荷作用線方向相臨的輪齒對稱點的變形。因此u 2近似表示齒輪本體變形，u 1- u 2可定義為輪齒撓曲變形。計算結果表明，均勻分布載荷齒輪變形沿齒向分布有點變化，u1變化與齒根應力一致，但幅度很小，u 1最大為5.461微米，最小5.321微米。u 2變化與u 1相反，，最大為1.460微米，最小1.444微米。因此齒輪輪齒變形撓曲為3.939微米，齒輪本體變形1.452微米。

圖6 均勻分布載荷齒輪變形齒向分布
u1為載荷作用輪齒對稱點變形，u2 為相臨輪齒對稱點變形

　　4 計算模型誤差分析

　　由圖2計算模型的離散誤差已經很小，由圖5計算結果，根據最大主應力和應力強度之差，齒根應力的計算誤差估計在3‰。ANSYS軟件計算的齒根應力局部離散誤差僅為0.35‰，因此計算模型的可靠性很高，計算誤差肯定小于1%。另一方面，齒輪計算模型的約束假定與軸配合的內圓為固定約束，實際上約束有多種，因而不同約束對齒根應力和齒輪變形肯定有影響。這個影響對齒根應力和輪齒變形肯定很小，對于輪緣厚度較大的，可以忽略(如本文)，但是是否小于1%，還需要進一步研究。齒輪接觸載荷是假定為均勻分布或者線性分布作用在齒面上，實際上接觸載荷不是按照假定的理想分布，因此建立一對齒輪三維接觸仿真分析模型是重要的課題。

　　齒輪變形計算模型的離散誤差比齒根應力小，計算誤差肯定小于1%，但齒輪變形齒向分布的變化可能要大于1%。本文均勻載荷齒輪本體變形齒向分布的變化是1.1%，總變形變化2.6%(圖6)，因此計算輪齒變形可能的誤差有1%左右。齒輪變形主要受彈性模量影響，彈性模量的誤差和隨機性，可能使得齒輪變形的誤差達到1-5%，需要進一步研究。另一方面，齒輪變形(特別是本體變形)受齒輪本體結構影響很大，本體結構可能使得齒輪變形的誤差達10%以上[4]，但對輪齒變形影響較小，可能也會達到1%，因此也需要進一步研究。同樣不同載荷分布齒輪變形沿齒向是變化的，需要建立一對齒輪三維接觸仿真分析模型。

　　結論

　　通過建立三維整體齒輪仿真分析模型，使用高性能計算機，可以精確計算齒根應力和齒輪變形，計算模型的計算誤差肯定小于1%。 不同載荷分布下齒根應力和輪齒變形的分布能夠精確計算，齒根應力和輪齒變形的一個新的計算標準已經建立，三維模型對齒根應力和輪齒變形的影響已經顯示，齒根應力和輪齒變形計算得到了進一步發展，齒輪動態設計、優化設計、可靠性設計和CAE有了新的基礎。