Pro/ENGINEER是美國(guó)參數(shù)化技術(shù)公司PTC推出的集產(chǎn)品設(shè)計(jì)到生產(chǎn)的完整的CAD/CAE/CAM軟件。其具有強(qiáng)大基于特征的參數(shù)化建模功能，用參數(shù)化建模來(lái)約束產(chǎn)品模型的形狀特征，控制設(shè)計(jì)結(jié)果，并有能通過(guò)修改相應(yīng)設(shè)計(jì)參數(shù)，生成新的零件三維實(shí)體造型的功效。

　　在很多用Pro/ENGINEER齒輪建模的文章中，都采用了如下的建模步驟：

　　1)創(chuàng)建用戶參數(shù)，也就是齒輪的幾何參數(shù);2)通過(guò)關(guān)系對(duì)話框添加分度圓直徑、基圓直徑、齒根圓直徑及齒頂圓的約束關(guān)系式，通過(guò)再生模型最終生成標(biāo)準(zhǔn)齒輪基本圓基準(zhǔn)曲線;3)創(chuàng)建齒廓漸開(kāi)線特性，即通過(guò)方程創(chuàng)建漸開(kāi)線，然后鏡像漸開(kāi)線、創(chuàng)建齒廓截面特征完成一個(gè)齒的截面圖形;4)通過(guò)拉伸得到單個(gè)齒的直齒三維圖形或者是通過(guò)創(chuàng)建螺旋線在通過(guò)掃描混合得到單個(gè)斜齒的三維圖形;5)通過(guò)陣列得到齒輪齒部的三維模型，到此一個(gè)齒輪的Pro/ENGINEER模型就基本完成。

　　本文要探討的就是在創(chuàng)建一條漸開(kāi)線后鏡像另外一條漸開(kāi)線時(shí)所涉及的鏡像角度問(wèn)題，在筆者所看到的用Pro/ENGINEER齒輪建模的文章中，作者都采用了來(lái)生成基準(zhǔn)平面用于鏡像漸開(kāi)線，從而確定單個(gè)齒的截面圖形。筆者認(rèn)為這樣確定的角度只適合標(biāo)準(zhǔn)齒輪，也就是說(shuō)當(dāng)分度圓處齒厚與齒槽寬相等時(shí)，而當(dāng)齒輪是變位齒輪時(shí)情況并不是這樣。

　　如圖1所示，在Pro/ENGINEER中“方程生成的第一條漸開(kāi)線”與分度圓交于一點(diǎn)A ，通過(guò)點(diǎn)A和齒輪中心做一基準(zhǔn)平面P，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)齒輪分度圓處齒厚與齒槽寬相等這一特點(diǎn)即可通過(guò)得到鏡像面B，最后將漸開(kāi)線鏡像得到“鏡像得漸開(kāi)線”，最終由齒頂圓、齒根圓、兩條漸開(kāi)線就圍成了一個(gè)齒的界面圖形，拉伸或螺旋掃描得到一個(gè)齒，陣列得到齒輪模型，這樣建模的一個(gè)重要前提是齒輪屬于標(biāo)準(zhǔn)齒輪，即分度圓處齒厚與齒槽寬相等。但是當(dāng)齒輪為變位齒輪時(shí)分度圓處的齒厚與齒槽寬不相等，所以鏡像角度就不能采用這 個(gè)公式來(lái)計(jì)算!但可以通過(guò)計(jì)算變位齒輪的分度圓弦齒厚求出鏡像漸開(kāi)線時(shí)用的角度，公式為：

　　根據(jù)齒輪的相關(guān)知識(shí)可以得出的關(guān)系式如下：

　　變位直齒輪：

　　變位斜齒輪：

　　式中：(4)聯(lián)合公式(1)、(2)、(3)、(4)可以得出以下結(jié)論：

　　變位直齒輪：

　　變位斜齒輪：

　　計(jì)算出鏡像角度后就可以得出齒形，直齒輪通過(guò)截面齒形就可以直接拉伸得到單個(gè)齒的模型。對(duì)于斜齒輪得出的是法向截面齒形，再通過(guò)方程建立螺旋線，然后將法向截面齒形沿著螺旋線掃描即可。

　　以下面一變位直齒輪為例，參數(shù)如下：如果應(yīng)用這個(gè)公式得出的角度θ=7.5º，而實(shí)際的鏡像角度為，分別將這兩個(gè)公式計(jì)算出的結(jié)果創(chuàng)建三維齒形進(jìn)行比對(duì)。

　　(1)先以計(jì)算出的角度7.5º為鏡像角度，可以得出單個(gè)齒的模型如圖2所示，“2”代表漸開(kāi)線的鏡像中心平面，“DTM1”是既通過(guò)分度圓與漸開(kāi)線交點(diǎn)、又通過(guò)齒輪中心的基準(zhǔn)面，“2”平面與“DTM1”基準(zhǔn)平面的夾角為7.5º。可以從圖2中看出，鏡像得到的兩條漸開(kāi)線所包圍組成的單個(gè)齒齒頂與已知的齒頂圓(藍(lán)色最大圓) 還有一些距離，說(shuō)明這個(gè)鏡像得到的單 個(gè)齒與已知齒輪參數(shù)是矛盾的，陣列完整齒數(shù)后得到圖3，所以很容易得出由這個(gè)公式所求出的鏡像角度是錯(cuò)誤的。

　　(2)再以計(jì)算得到的角度9.41º為鏡像角度，可以得出單個(gè)齒的模型如圖4和圖5所示，“1”代表漸開(kāi)線的鏡像中心平面，“DTM1”是同圖1一樣的基準(zhǔn)面，“1”平面與“DTM1”基準(zhǔn)平面的夾角為9.41º，圖中粗紅線分別代表分度圓和漸開(kāi)線，此漸開(kāi)線與(1)中漸開(kāi)線為同一漸開(kāi)線。通過(guò)測(cè)量模型中的齒厚，結(jié)構(gòu)與實(shí)際參數(shù)完全相符，圖6為完整齒輪圖，驗(yàn)證得到此 角度為正確的鏡像角度。

　　經(jīng)過(guò)對(duì)比，從圖7(前面黃色齒為7.5º鏡像所作出的齒，后面的為9.41º所 生成的齒)就能明顯看出，盡管用同一齒輪參數(shù)但通過(guò)兩種不同的角度計(jì)算方法得出的結(jié)果完全不同，所以說(shuō)簡(jiǎn)單的用標(biāo)準(zhǔn)齒輪的齒厚與齒槽相等的計(jì)算辦法計(jì)算漸開(kāi)線的鏡像角度是不完整的，而利用筆者導(dǎo)出的方程可以正確地計(jì)算出無(wú)論是標(biāo)準(zhǔn)齒輪還是變位齒輪的鏡像角度，從而建立一個(gè)準(zhǔn)確的齒輪模型。

　　目前大多變速箱上使用的都是變位齒輪，所以在用Pro/ENGINEER創(chuàng)建齒輪模型時(shí)必須搞清楚這個(gè)鏡像角度，否則創(chuàng)建出來(lái)的齒輪模型只是“像”，跟實(shí)際齒輪參數(shù)并不相符。本文通過(guò)對(duì)變位齒輪分度圓弦齒厚的計(jì)算得出了準(zhǔn)確的角度計(jì)算公式，從而得到精確的齒輪模型，這為后期做有限元分析、裝配和運(yùn)動(dòng)仿真等都有重要的意義。