減速器是原動機和工作機之間的一個獨立閉式傳動裝置，用來降低轉速和傳遞轉矩，在工作過程中，減速器中的齒輪可能會由于機械振動而發出噪音，這樣可能會降低齒輪的嚙合精度和傳遞效率，從而影響減速器的使用壽命。

　　模態分析可以確定零件的固有頻率和振型，使設計師在設計零件的時候，盡量使系統的工作頻率和固有頻率偏差較大，以防止共振，從而減少振動和噪音。模態分析的最終目標是識別系統的模態參數，為系統的振動特性分析、振動故障診斷和預報以及結構動力特性的優化設計提供依據，是結構動態設計及故障診斷的重要方法。

　　本文利用有限元軟件ABAQUS，對減速器中的齒輪進行模態分析，來確定不同階數下齒輪的固有頻率和振型，通過選擇不同的材料以及齒輪的腹板倒角，來分析齒輪固有頻率的變化趨勢，從而為齒輪大的結構優化提供參考依據，避免齒輪在工作時候發生共振，從而減少噪音。

　　一、有限元模態分析理論

　　對于一般的多自由度結構系統而言，運動都可以由其自由振動的模態來合成。有限元的模態分析就是建立模態模型進行數值分析的過程。由于結構的阻尼對其模態頻率及振型的影響很小，所以模態分析的實質就是求解具有限個自由度的無阻尼及無載荷狀態下得運動方程的模態適量。系統的無阻尼多自由度的自由振動系統方程為：

　　式中質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]均為nxn階方陣，位移列陣{x}為nx1階列陣。把(1)式寫成位移向量的形式為：

　　應用線性變換式{x}=[u]{y}，可以對集合位置坐標{x}表示的耦合系統微分方程組解耦。因此，振型在坐標變換和解耦系統中發揮著重要的作用。為了得到振型的矩陣[u]，必須求得系統的特征值和特征向量，即系統的固有頻率和振型向量。為此，假定系統的振動是由頻率的簡諧振動組成，設{X}為{x}的位移幅值和振幅列陣或振幅向量，Φ為初相位，則系統運動方程是的形式為：

　　對其求導得：

　　把(4)式代入(1)式，消去因子，整理的系統的特征矩陣方程為：

　　為滿足上面的矩陣方程，必須使括號中的矩陣行列式等于零，這就是特征方程式即(6)式

　　從特征方程杰出特征值，特征值的平方根就是系統的固有頻率。將系統的固有頻率代入(5)式，所求的幅值矩陣{X}即為振興向量{u}。

　　二、建立有限元模型

　　1.齒輪建模

　　根據減速器的輸出功率要求，得齒輪的參數為：齒數z=26，模數m=3，齒形角a=20°，齒厚d =20，齒輪的其他參數通過計算和工具書獲得，利用軟件Pro/ENGINEER建模，并把齒輪模型導入到ABAQUS中，進行模態分析。

　　2.齒輪邊界約束

　　對齒輪進行模態分析的主要目的是獲得齒輪不同階下的固有頻率和振型，因而不需要對齒輪進行加載，只需要對其自由度進行約束，根據齒輪的工作條件，對齒輪進行約束，選取齒輪的內表面作為約束對象，對齒輪的內圓柱面和鍵槽面x，y和z方向的平動位移進行約束，由于模態分析低階頻率對于動的影響遠大于高階頻率，故取齒輪模態分析前6階的固有頻率和振型。

　　3.齒輪網格劃分

　　對齒輪進行網格劃分，最大整體尺寸為2，幾何次數選擇線性攝動，選取單元類型為四面體單元C3D4。

　　三、有限元結果分析

　　1.材料的影響

　　選擇不同的材料，進而材料的彈性模量和泊松比及密度不同，本文中選擇的材料分別為：灰口鑄鐵、球墨鑄鐵、鑄鋼、碳鋼和合金鋼，材料的彈性模量依次逐漸變大。通過仿真結果查看不同材料對于齒輪固有頻率的影響，因為低階頻率對于結構的振動影響較大，所以僅取了仿真結果的前6階模態分析結果，圖2是齒輪的振型圖以及最大位移振動變化，由于不同材料的振型圖較多，故只選取材料為合金鋼的齒輪的2、4和6階振型圖作為示意。

　　利用振型圖可以很直觀地分析齒輪的振動形態，并發現齒輪振動的薄弱環節，進而可以對齒輪進行優化，從而避免齒輪發生共振，減少齒輪工作時的噪音。在低階情況下，通過分析不同材料齒輪的前6階振型圖，可以發現齒輪的振型主要為扭轉振動和彎曲振動，齒輪的階數越高，則振動的位移越大，齒輪振動越劇烈，噪音越大。表1是不同材料的齒輪在不同階下的固有頻率，并將數據繪制成曲線圖，如圖3所示。

　　曲線圖3表明：在階數相同的情況下，齒輪的固有頻率和材料是存在一定關系，材料的彈性模量越大，則在該階下材料的固有頻率越大，所以在同階數的工作頻率下，齒輪發生共振的概率越小，從而減小齒輪振動的噪音，增大了傳遞的效率，延長了齒輪的使用壽命，為齒輪的動態優化設計提供可靠理論基礎。

　　2.結構的影響

　　下面來研究結構對于齒輪固有頻率的影響：齒輪的材料為合金鋼，結構的改變主要是通過對齒輪的腹板進行倒角，通過倒角大小的不同來分析齒輪固有頻率的變化規律。該仿真中腹板倒角的范圍為C1~C5，由于振型圖較多，下圖4是選取齒輪的倒角C5時的2、4和6階振型圖作為示意，通過振型圖可以看出齒輪的振型主要是扭轉振動和彎曲振動，振型圖反映了齒輪的振動特性和薄弱環節，可以為設計者提供參考依據。

　　改變齒輪腹板結構，通過改變齒輪模型的倒角大小，來查看不同的齒輪結構對于齒輪的固有頻率的影響，在齒輪鑄造時候，可以作為腹板倒角的參考依據，選擇合理的倒角大小，進一步減輕齒輪的振動，減少齒輪振動時候的噪音，也可以作為齒輪優化的參考依據。

　　從曲線圖5表明：在階數相同的情況下，齒輪腹板的倒角越大，則齒輪的固有頻率越大。隨著階數的增加，齒輪的固有頻率會呈現遞增的趨勢，這一結論特點可以作為齒輪參數優化的依據。在進行齒輪腹板倒角的時候，可以適當選擇倒角大小，避免齒輪發生共振，從而減少振動的噪音，提高齒輪的傳遞效率。

　　上述曲線和圖形表明：

　　(1)齒輪的固有頻率與齒輪的材料有關，在相同階數的情況下，齒輪材料的彈性模量越大，則齒輪的固有頻率越大;

　　(2)齒輪的固有頻率和齒輪的結構有關，在相同階數的情況下，齒輪的腹板倒角越大，則齒輪的固有頻率越大;

　　(3)齒輪的低階振型主要為扭轉振動和彎曲振動，階數越高，振動位移越大，振型圖可以看出齒輪的薄弱環節，從而可以進行齒輪優化，為設計者提供參考依據。

　　四、結束語

　　模態分析可以用來確定齒輪的固有頻率和振型，從而為齒輪設計和深入研究提供可靠的理論依據，通過振型圖可以直觀地發現齒輪振動的薄弱環節，從而為齒輪的設計和維護提供可靠地依據。

　　通過ABAQUS進行模態仿真分析，既可以為齒輪設計者提供可靠的、有意義的參考依據，也可以對齒輪的結構參數進行優化，提高齒輪在傳遞過程中的精度和傳遞效率。