1 前言
多軸聯動的線性插補及其加減速算法是高檔數控系統的核心技術。加減速處理分前加減速處理和后加減速處理。前加減速處理在插補之前，其優點在于對合成速度進行控制，不影響位置精度，但要進行減速點的預測。前加減速通常采用直線加減速。后加減速是對各插補軸分別進行加減速控制，由于各軸之間沒有協調關系，因此，合成位置可能不準確。
 
S曲線加減速通常用于后加減速處理，我們在開發基于開放式數控系統的多坐標聯動纖維纏繞機時，將其應用于前加減速處理，取得了很好的效果。
2 多軸聯動的線性插補S加減速
S曲線加減速規劃是指在加減速時，使其加速度的導數(Jerk) da/dt為常數，通過對加Jerk值的控制來最大限度地減小對機械系統造成的沖擊。另外，通過對加速度和Jerk兩個物理量的參數設定或編程設定，可實現柔性加減速控制，以適應不同種類機床的工況。
設在n維線性插補數控程序中，任意一段插補數據為
| P1, P2, …，Pn, F |
其中：F為合成速度，P1～Pn為各插補軸當前段的位移。
根據線性插補原理，各插補軸的位移與速度比相等，則有應于各插補軸的分速度。令 |Pi| = P =TSEP      i=1, 2, …, n
 
Fi F
 (1)

圖1 “S加減速”規劃原理圖

 
式中：P=(Pi2)½表示合成位移；TSEP表示該線性插補段各軸同時到達終點所需時間；F1～F2為合成速度對應于各插補軸的分速度。
令 Ki= Pi       i=1, 2, …, n
 
P
 (2)

則 Fi=KiF      i=1, 2, …, n (3)

在前加減速處理時，對給定速度進行規劃，如圖1所示，整個加減速過程分為三段，即加速段(1, 2, 3區)，勻速段(4區)和速段(4, 5, 6區)。在加速段和減速段，又分別包括變加減速區(1, 3, 5, 7區)和恒加減速區(2, 6區)：變加減速區，|da/dt|=J, Jerk為恒值；恒加減速區，|a|=A，加速度為恒值，勻速段(4區)的速度為恒值Vc。
各軸的運動參量成比例
對已規劃的合成速度v(t)在te點冪級數展開，令∆t=t-tx，有 v(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2 (4)
同理，各插補軸對應．點速度 vi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F      i=1, 2, …, n (5)

根據線性插補原理，合成速度與各插補軸速度有下列比例關系： vi(t)=Kiv(t)F      i=1, 2, …, n (6)

對于上面恒等式，應有 vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx) (7)

由于tx為任意一點，此式表明段內加減速過程中各插補軸的速度、加速度和Jerk分別與合成的速度、加速度和Jerk對應成比例。當對合成速度按S曲線規劃時，各插補軸在保證空間軌跡的同時，也按S曲線進行加減速，即S曲線加減速可用于前加減速控制。同時，上述關系可用于各插補軸的速度、加速度和Jerk的極限值檢查。
S加減速的插補遞推公式
設插補周期為T，則在第k個插補周期結束時的合成位移Sk為 Sk = ∫ tk v(t)dt= ∫ tk-1 v(t)dt+ ∫ tk-1+T v(t)dt=Sk-1 ∫ t (vk-1+ak-1t+½Jt2)dt =Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
0 0 tk-1 0
 
 (8)

第k個插補周期內的合成位移增量為 ∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT (9)
ak=ak-1+(1/3)JT (10)
vk=vk-1+(1/2)akT (11)
注意，上述遞推公式是分區適應的，即 J= { J, T∈[t0，t1]∪t6，t7
0, t∈(t1，t2)∪(t3，t4)∪(t5，t6)
-J, t∈[t2，t3]∪[t4，t5]
 (12)

只要初始條件ak-1和vk-1給定，則可推導出各插補周期的合成位移增量。進而得到各插補軸在插補周期內的位移增量，其公式為 ∆Pik= Pi ∆Sk=Ki∆Sk
 
P
 (13)
區間的判別
段內加減速時，每程序段伺服電動機速度總要減到零后再執行下一程序段。因此其加速段和減速段的位移相等，見圖1。
1區(t0-t1)的初始速度和初始加速度為0，則在t1時刻的位移Pti=(1/6)Jt13，其加速度a1=A=Jts，速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats，則 ts=t1=A/J (14)

由圖1中的加速度圖線可以看出 V=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl) (15)

則 tl=(V/A)-(A/J) (16)
ta=2ts+tl=(V/A)+(A/J) (17)
由ts、tl、tm可計算出t0～t7的時間，并以此進行區間判別。
終點判別
終點距離∆S及各軸距終點距離∆Si

圖2 插補計算流程框圖

 
∆S=P- k ∆Sk
∑
1
 (18)
∆Si=Pi- k ∆Pik
∑
1
 (19)

3 算法描述
加減速的規劃在插補預處理中進行。
讀入A、J、V、Pi。
計算ki，計算出的各軸的速度和加速度將與各軸的極限值比較，如果超出極限值，修正V。
掃描速度倍率K，令V=KV。
初始化，t0=O，∆Si=Pi。
速度規劃，計算tl、ts、tm。
置速度規劃完成標志。
插補。
插補的計算流程框圖如圖2所示，插補預處理的加減速規劃中，已得出各區的時間范圍，插補時只需判斷當前插補周期所在區間，即可按插補迭代公式計算出各插補軸與速度規劃適應的位移增量，從而實現其加減速。
4 結語
本文給出了基于速度S曲線加減速規劃的插補迭代算法，并應用于前加減速處理。雖然只考慮了一般情況下的段內加減速，但其思想和方法對更復雜的段內加減速和段間加減依然適用。本文給出的算法可采用加速度和加速度導數編程，能最大限度地適應各類數控機床的加工工況，同時，本算法也非常簡潔和易于實現。